import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

Лабораторная работа № 1.2¶

Исследование эффекта Комптона¶

С помощью сцинтиляционного спектографа исследуется энергетический спектр $\gamma$ --квантов. Определяется энергии рассенных $\gamma$ --квантов в зависимости от угла рассеяния, а также энергия покоя частицы, на которой происходит комптоновское рассеяние.

Теория¶

Эффект Комптона - увеличение длины рассеянного излучения по сравнению с падающим. Будем считать, что $\gamma$ -излучение - представляет собой поток квантов у которых:

\begin{aligned} E = ℏ ω \\ p = \frac{ℏ ω}{c} \end{aligned}

$\begin{align*} &E = \hbar\omega \\ &p = \dfrac{\hbar\omega}{c} \end{align*}$

При этом эффект Комптона интерпретируется как результат упругого соударения двух частиц: $\gamma$ --кванта и свободного электрона. Пусть электрон до соударения покоился, его энергия:

\begin{aligned} E_{e l} = m c^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} E_{el} = mc^2 \end{align*}$

$\gamma$ -квант имел начальную энергию

\begin{aligned} E_{k} = ℏ ω_{0} \\ p_{k} = \frac{ℏ ω}{c} \end{aligned}

$\begin{align*} &E_k = \hbar\omega_0 \\ &p_k = \frac{\hbar\omega}{c} \end{align*}$

Тогда после соударения:

\begin{aligned} E_{e l} = γ m c^{2} \\ p_{e l} = γ m v \end{aligned}

$\begin{align*} &E_{el} = \gamma mc^2 \\ &p_{el} = \gamma mv \end{align*}$

Здесь:

$\gamma = \left(1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right)^\frac{1}{2}$
$\theta$ - угол, к первоначальному направлению движению, на который рассеялся $\gamma$ --квант
$\phi$ - угол, под которым полетел электрон после соударения

Тогда ЗСИ и ЗСЭ:

\begin{aligned} m c^{2} + ℏ ω_{0} = γ m c^{2} + ℏ ω_{1} \\ \frac{ℏ ω_{0}}{c} = γ m v \cos (ϕ) + \frac{ℏ ω_{1}}{c} \cos (θ) \\ γ m v \sin (ϕ) = \frac{ℏ ω}{c} \sin θ \end{aligned}

$\begin{align*} &mc^2 + \hbar\omega_0 = \gamma mc^2 + \hbar\omega_1 \\ &\dfrac{\hbar\omega_0}{c} = \gamma mv\cos(\phi) + \dfrac{\hbar\omega_1}{c}\cos(\theta) \\ &\gamma mv \sin(\phi) = \dfrac{\hbar\omega}{c}\sin{\theta} \end{align*}$

Отсюда:

\begin{aligned} Δ λ = \frac{h}{m c} (1 - \cos (θ)) = Λ_{k} (1 - \cos (θ)) \end{aligned}

$\begin{align*} \Delta\lambda = \dfrac{h}{mc}(1 - \cos(\theta)) = \Lambda_k(1 - \cos(\theta)) \end{align*}$

$\Lambda_k$ - Комптоновская длинна волны электрона.

Последнее равенстно можно переписать в виде:

\begin{aligned} \frac{1}{ϵ (θ)} - \frac{1}{ϵ_{0}} = 1 - \cos (θ) \end{aligned}

$\begin{align*} \dfrac{1}{\epsilon(\theta)} - \dfrac{1}{\epsilon_0} = 1 - \cos(\theta) \end{align*}$

$\epsilon_0 = E_0/(mc^2)$ -- энергия $\gamma$ --кванта, падающего на рассеиватель.

Измерения¶

В ходе эксперимента различным уровням энергии будут соответствовать различные каналы $N$ , соответствующие вершинам фотопиков.

Таким образом:

\frac{1}{N (θ)} - \frac{1}{N_{0}} = A (1 - \cos (θ))

$\begin{equation*} \dfrac{1}{N(\theta)} - \dfrac{1}{N_0} = A(1 - \cos(\theta)) \end{equation*}$

Оценим погрешности:

\begin{aligned} \frac{σ N}{N} = 0.01 \\ σ θ = 0.5 \deg \\ σ X = | \sin (θ) | σ θ \\ σ Y = | \frac{σ N}{N (θ)^{2}} | \end{aligned}

$\begin{align*} &\dfrac{\sigma N}{N} = 0.01 \\ &\sigma \theta = 0.5 \deg \\ &\sigma X = |\sin(\theta)|\sigma\theta \\ &\sigma Y = \left|\dfrac{\sigma N}{N(\theta)^2}\right| \end{align*}$

Результаты измерений¶

data = pd.read_csv("data_1.2.csv", names=["deg", "N"])

sigma_phi = 0.5 / 90 * np.pi / 2.
sigma_N = 15.

X = (1. - np.cos(data.deg / 90. * np.pi / 2)).values
sigma_X = np.abs(np.sin(data.deg / 90.* np.pi / 2.) * sigma_phi).values
Y = (1. / data.N).values
sigma_Y = np.abs(sigma_N / data.N**2.) .values

data["X"] = X
data["Y"] = Y
data["$\sigma(X)$"] = sigma_X
data["$\sigma(Y)$"] = sigma_Y

data.style \
    .set_table_styles([{'selector': 'th', 'props': [('font-size', '12pt')]}]) \
    .set_properties(**{'font-size':'11pt'}) \
    .format("{:.4f}")

A = np.vstack([X, np.ones(len(X))]).T
m, c = np.linalg.lstsq(A, Y, rcond=None)[0]

import matplotlib
%matplotlib inline

font = {'family' : 'Arial',
        'size'   : 14}

matplotlib.rc('font', **font)

fig = plt.figure(figsize=(12, 7))
ax = fig.gca()

plt.scatter(X, Y * 10 ** 4, marker=".")
plt.errorbar(X, Y * 10 ** 4, xerr=sigma_X, yerr=sigma_Y * 10 ** 4, linestyle="None")
delta_x = (X.max() - X.min()) / len(X)
delta_y = (Y.max() - Y.min())  * 10 ** 4 / len(Y)

ax.set_xlim(X.min() - delta_x/2, X.max() + delta_x/2)
ax.set_ylim((Y.min() * 10 ** 4 - delta_y/2), Y.max() * 10 ** 4 + delta_y/2)
plt.title("$\dfrac{1}{N(\Theta)} = A\cdot (1-cos(\Theta)) + B$", y=1.07)
plt.xlabel("$1-cos(\Theta)$")
plt.ylabel("$\dfrac{1}{N(\Theta)} * 10^4$")

plt.plot(X, (m*X + c) * 10 ** 4, 'r', label='Fitted line')
plt.grid(True);

Результаты¶

Параметры получившейся наилучшей прямой (использованный метод апроксимации -- OLS (ordinary least square)):

\begin{aligned} Y & = A X + B \\ A & = 0.0015 \pm 3 \cdot 10^{- 5} \\ B & = 0.0011 \pm 1 \cdot 10^{- 5} \end{aligned}

$\begin{align*} Y &= AX + B \\ A &= 0.0015 \pm 3 \cdot 10^{-5} \\ B &= 0.0011 \pm 1 \cdot 10^{-5} \end{align*}$

Также, нужно учесть погрещность определения угла и максимума, посколько статистическая погрешность мала по сравнению с упомянутой погрешностью определения максимумов, то оценим:

σ (N_{b e s t}) \leq 9

$\begin{equation*} \sigma(N_{best}) \leq 9 \end{equation*}$

Отсюда

\begin{aligned} N_{b e s t} (0) = 931 \pm 9 \\ N_{b e s t} (90) = 395 \pm 9 \\ m c^{2} = E_{γ} \cdot \frac{N_{b e s t} (90)}{N_{b e s t} (0) - N_{b e s t} (90)} \\ E_{γ} = 661.7 \pm 9 k e V \end{aligned}

$\begin{align*} &N_{best}(0) = 931 \pm 9 \\ &N_{best}(90) = 395 \pm 9 \\ &mc^2 = E_\gamma \cdot \dfrac{N_{best}(90)}{N_{best}(0) - N_{best}(90)} \\ &E_\gamma = 661.7 \pm 9\ keV \end{align*}$

Получим:

\begin{aligned} m c^{2} = 487 \pm 35 k e V \end{aligned}

$\begin{align*} &mc^2 = 487 \pm 35\ keV \end{align*}$

Вывод¶

Приведённый способ, позволяет определить энергию покоя электрона с хорошей точностью.
Табличное значение энергии покоя:

E_{t} = 508.5 k e V

$E_t = 508.5\ keV$

С учётом погрешности, полученное нами значение энергии покоя электрона совпадает с табличным.

	deg	N	X	Y	$\sigma(X)$	$\sigma(Y)$
0	0.0000	901.0000	0.0000	0.0011	0.0000	0.0000
1	5.0000	945.0000	0.0038	0.0011	0.0008	0.0000
2	10.0000	904.0000	0.0152	0.0011	0.0015	0.0000
3	20.0000	840.0000	0.0603	0.0012	0.0030	0.0000
4	30.0000	797.0000	0.1340	0.0013	0.0044	0.0000
5	40.0000	729.0000	0.2340	0.0014	0.0056	0.0000
6	50.0000	639.0000	0.3572	0.0016	0.0067	0.0000
7	60.0000	562.0000	0.5000	0.0018	0.0076	0.0000
8	70.0000	474.0000	0.6580	0.0021	0.0082	0.0001
9	80.0000	435.0000	0.8264	0.0023	0.0086	0.0001
10	90.0000	401.0000	1.0000	0.0025	0.0087	0.0001
11	-5.0000	906.0000	0.0038	0.0011	0.0008	0.0000
12	5.0000	959.0000	0.0038	0.0010	0.0008	0.0000